Matematika A pre NF VŠE (55F100) — LS 2020/2021

Obsah predmetu:

Matematika. Matematika a opäť matematika. Mojou úlohou je viesť cvičenia. To znamená, že veľmi rýchlo (ak treba) zopakujeme najzákladnejšiu teóriu z prednášok a počítame vzorové príklady tak, aby ste získali praktické skúsenosti pri riešení úloh, s ktorými sa vo svojej praxi neskôr môžete stretnúť. Zároveň Vám to pomôže na konci semestra bez problémov spraviť test a tento predmet splniť. 😊

Materiály:

Viď odkazy. Množstvo príkladov, starých písomiek/testov (aj s riešeniami) môžete nájsť na stránkach cvičiacich, ktorí cvičili tento predmet po minulé roky. Odporúčaná je učebnica Barbora Batíková a kol.: Učebnice matematiky pro ekonomické fakulty (2009), keďže sa na ňu dr. Krump odvoláva, počas prednášok.

Info k zápočtu a hodnoteniu:

Účasť na cvikách je vo Vašom vlastnom najlepšom záujme. Celkovo nás čaká 13 cvičení. Začíname 16.2. a končíme 11.5. Zatiaľ podľa všetkého celý čas budeme fungovať online. Stretávame sa v "tíme" v aplikácii MS Teams, kde by ste mali byť automaticky zaradení podľa zápisu v InSISe. Počas semestra (13 týždňov) nás čakajú ako náhrada za obvyklé minitestíky (ktoré Vaši kolegovia-predchodcovia absolvovali každý týždeň) celkovo 4 tzv. coronatesty (názov vžitý počas minulého semestra). Skrátene CT. Prvý čakajme asi 3. týždeň, ďalšie dátumy budú oznámené. Preto radím(e) začiatok semestra nepodceniť. Vždy je na každý CT určený istý čas od zverejnenia po potrebné odovzdanie (napr. týždeň), ide teda o domácu prácu. Ak nebude Vaše riešenie správne, je možné ho presne jedenkrát prepracovať, ale už bude na to menej času. Za každý CT je možné získať až 5 BODOV. Plný počet za CTčká je teda 20 bodov. Tie spolu s 80 bodmi zo záverečného testu (ten tvoria 2 časti) tvoria celkové bodové hodnotenie Vašej práce a vedomostí, ktoré v súčte dajú Vašu výslednú známku.

Konzultácie:

Po vzájomnej predchádzajúcej dohode skoro hocikedy behom týždňa — zatiaľ (do odvolania) výlučne ONLINE formou. Existuje možnosť ma kontaktovať pomocou mailovej adresy jaroslav.jaros[at]vse.cz ([at] nahraďte @), ako aj si zavolať pomocou Skype–u. Takisto mi môžete napísať na Facebook. Opakujem - všetko záleží od dohody. Takže - napíšte, resp. spýtajte sa počas cvičenia a nájdeme časový prienik.

Nakoniec neostáva nič viac, ako si vzájomne popriať veľa zdaru 🧐! Prosím, nebojte sa pýtať. 95% ľudí možno nechápe/nerozumie to/tomu isté/mu čo Vy, len sa boja opýtať. Berte to teda ako službu celej skupine. Radšej sa cítiť blbo 5 minút, ako zostať blbým celý život (ako hovorieval doc. Langer). Rovnako je možné, že niečo ja poviem nezrozumiteľene. V tom prípade feedback od Vás mi pomôže môj spôsob výkladu zlepšovať. 😎

Nástroje na kontrolu výpočtu a vizualizáciu:

Cvičenia:

Cvičenie 1 (16. 2. 2021)

Cvičenie 1. týždeň: Úvod. Všeobecné tipy k riešeniu matematických problémov. Funkcie ako reprezentácia zobrazenia/predpisu. Grafy funkcii. Lineárne rovnice/nerovnice. Lineárne funkcie. Kvadratické rovnice/nerovnice/funkcie. Vietove vzorce. Absolútna hodnota a jej graf. Metóda nulových bodov (NB). Riešenie pomocou tabuľky. Záznam cvičenia doplnený o tabuľu (opravený).

Cvičenie 2 (23. 2. 2021)

Cvičenie 2. týždeň: Vyjasnenie menších zmätkov z minula. Lineárna nerovnica s absolútnou hodnotou. Dôkladnejšie vysvetlenie pojmov: Definičný obor; Obor hodnôt; Monotónnosť - kde je funkcia kladná/záporná, kde klesajúca/rastúca; Parita - kde je sudá (párna)/ lichá (nepárna). KonVexnosť a konkÁvnosť. Lineárne lomená funkcia. Pojem HYPERBOLY (1/x) a ASYMPTOTY. Racionálne lomené funkcie a nerovnica riešená tabuľkou pomocou NB. Kubická (ne)rovnica. Delenie mnohočlenov. "Bestíař" funkcií. Exponenciála a logaritmus. Definičný obor logaritmu.

Cvičenie 3 (02. 3. 2021)

Cvičenie 3. týždeň: Zadaný 1. CT !!! Deadline do 8.3. Ešte pár viet k logaritmom a exponenciále. Prostá funkcia. Doplnenie "bestiáře". Exponenciálne a logaritmické rovnice. Postupnosti (česky: posloupnosti ). Limita postupnosti. Vety o aritmetike limít (VOAL). Riešenie príkladov na limity postupností. Využitie fínt z prednášky dr. Krumpa (Finta č. 1, Finta č. 2 a Finta č. 3).

Cvičenie 4 (09. 3. 2021)

Cvičenie 4. týždeň: Spomienková limitka postupnosti. "Ešte raz a poriadne": Inverzná funkcia. Vzťah medzi prostou a inverznou funkciou. Postup určenia inverznej funkcie z predpisu funkcie. Pojem limity funkcie. Jednostranné limity. Limita vo vlastných a nevlastných bodoch.

1. CoronaTest (CT) (deadline bol: 8. 3. 2021)

1. CoronaTest (CT): Cieľom bolo precvičenie hlavne látky z prvých 3 cvičení. Najväčší problém (paradoxne) robilo určenie definičného oboru a určenie toho, kde je funkcia kladná/záporná. Ďalším problémom bolo určenie vrcholu paraboly - pozor na to. Je v poriadku pri hľadaní koreňov upraviť koeficient a v kvadrat. člene na 1ku, ale pri určovaní vrcholu to neplatí, keďže to mení súradnice vrcholu paraboly. Inak som bol spokojný :). Nižšie prikladám zadania a riešenia pre všetky varianty. Riešenie obsahujú skôr správne odpovede, nejde o kompletné vzorové riešenie aj s postupom. Avšak, ako istá referencia to stačí. Ak ste mali s 1. CT problémy, použite zadania ostatných variantov ako zbierku príkladov a po vyriešení si odpovede skontrolujte. Je to možnosť ako vylepšiť svoju formu pred skúškou.

Zadania a riešenia:
Cvičenie 5 (16. 3. 2021)

Cvičenie 5. týždeň: Komentáre k 1. CT. Návrat k pojmom vlastný/nevlastný bod a vlastná/nevlastná limita. Typické úlohy na limity funkcii. Motivácia a úvod k deriváciám.

Upozornenie: Od ďalšieho CT budem akceptovať riešenia odovzdané iba cez Teams (sekcia Assignments/Priradené úlohy) a vo formáte *.pdf! Pre vytvorenie pdfka použite, prosím, napr. online službu https://jpg2pdf.com/. Ďakujem 😊.

Cvičenie 6 (23. 3. 2021)

Cvičenie 6. týždeň: Motivácia a úvod k deriváciám - dokončenie. Vzorové príklady na derivácie. Návrat k pojmu limita funkcie skrze L'Hospitalovo pravidlo. Zhrnutie teórie k L'Hospitalovi z prednášky. Vzorové príklady na L'Hospitla (L'H). Ďalšie príklady tu.

Upozornenie: Počnúc 2. CT budem akceptovať už iba riešenia odovzdané cez Teams (sekcia Assignments/Priradené úlohy) a vo formáte *.pdf! Pre vytvorenie pdfka použite, prosím, napr. online službu https://jpg2pdf.com/. Ďakujem 😊.

2. CoronaTest (CT) (deadline bol: 29. 3. 2021)

2. CoronaTest (CT): 2.CT je už za nami a opravovanie vrátených zadaní skončilo 12.4. Nájdete tu už teda aj vzorové riešenia 😊. Komentáre k riešeniam som už prezentoval aj na cvičení (konkrétne na začiatku 9. cvika). Hlavný problém v 1.) robilo overenie, či všetky nájdené riešenia vyhovujú podmienkam danými logaritmami. Treba vždy buď určiť Df a zistiť, či tam nájdený kandidát na riešenie patrí, alebo robiť skúšky. V 2.) mnohí chceli limitu postupnosti riešiť neštandarne a skúšali alternatívne postupy. Skúste ísť na to tak, ako sme to cvičili a nesklamete sa. Pozor - limity počítame tak, že najprv všetko čo sa dá vykrátime a limitný prechod robíme až úplne nakoniec. Pozor tiež na pracovanie s odmocninami. Odmocnina s x + 3 nie je odmocnina z x + odmocnina z 3! V 3.) vo variantoch, kde bola v čitateli odmocnina a pod ňou kvadrat. funkcia, viacerí neurčovali, či má vplyv na Df obor, resp. neukázali, či bude kvadrat. funkcia naozaj pre všetky x kladná na celom svojom Df. Treba to spraviť cez diskriminant a ukážku, že je menší než 0. Rovnako v 3.) robilo problém zrátať limity funkcie. Niektorí nerobili limity vo všetkých krajných bodoch. V 4.) to celkom šlo, ale i tak ... niektorí by si mali derivácie ešte zopakovať. Celkový dojem je však dobrý 😊, ak túto formu udržíme, na skúške by sme mali byť safe.

Zadania a riešenia:
Cvičenie 7 (30. 3. 2021)

Cvičenie 7. týždeň: Precvičovanie použitia L'Hospitalovho pravidla. Typológia úloh + spojené s precvičením derivácii. Dotyčnica/Tečna ku grafu funkcie - teória, príklady.

Cvičenie 8 ( 6. 4. 2021)

Cvičenie 8. týždeň: Dokončenie príkladov z minula na určovanie rovnice dotyčnice/tečny ku grafu funkcie v nejakom bode. Vzťah monotónie & extrémov funkcie s deriváciou funkcie. Zopakovanie teórie a príklady. Začatie určovania celkového priebehu funkcie - zhrnutie z prednášky - asymptoty ku grafu funkcie (všeobecne) + konvexita/konkávita a druhá derivácia + inflexný bod.

Upozornenie: Počnúc 2. CT budem akceptovať už iba riešenia odovzdané cez Teams (sekcia Assignments/Priradené úlohy) a vo formáte *.pdf! Pre vytvorenie pdfka použite, prosím, napr. online službu https://jpg2pdf.com/. Ďakujem 😊.

Cvičenie 9 (13. 4. 2021)

Cvičenie 9. týždeň: Spoločné počítanie priebehu funkcie 😊 spojené s opakovaním.

3. CoronaTest (CT) (deadline bol : 19. 4. 2021)

3. CoronaTest (CT): Práve prebieha opravovanie Vašich riešení. Keď Vám pošlem komentár k Vášmu riešeniu, máte 2 dni na poslanie opravených riešení 😊. Vzorové riešenia tu preto pribudnú až potom, ako 3. CT finálne uzavrieme.

Zadania a riešenia:
Cvičenie 10 (20. 4. 2021)

Cvičenie 10. týždeň: Ešte jeden príklad na priebeh funkcie. Funkcie viacerých premenných. Grafické pochopenie funkcie viacierých premenných. Parciálne derivácie a ich geometrická interpretácia, grafické pochopenie. (Krátke 7 min video z Khan Academy k tejto téme). Predstava tangenciálnej (tečnej) roviny. Vizualizácie rôznych funkcii (odkaz). Príklady na výpočet parciálnych derivácii funkcii 2 a 3 premenných. Stacionárne body (aka body, kde grad f = 0) ... a ako ich počítať (To be continued ...)

Cvičenie 11 (27. 4. 2021)

Cvičenie 11. týždeň: Príklady na stacionárne body. Typologické úlohy. Hľadanie extrémov funkcií viacerých premenných dosadzovacou metódou. Funkcie 3 a viac premenných - ako si ich predstaviť(?).

Správne riešenie bonusovej úlohy z cvičenia by slečna Petrová

4. CoronaTest (CT) (posunutý deadline bol: 11. 5. 2021)

4. CoronaTest (CT): Práve prebieha zber Vašich riešení. Keď Vám pošlem komentár k Vášmu riešeniu, máte 2 dni na poslanie opravených riešení 😊. Vzorové riešenia tu preto pribudnú až potom, ako 4. CT finálne uzavrieme.

Zadania a riešenia:
Cvičenie 12 (04. 5. 2021)

Cvičenie 12. týždeň: Druhý príklad na hľadanie extrémov funkcií viacerých premenných dosadzovacou metódou (v poznámkach z minula). Zopakovanie teórie k metóde Jacobiánu a k metóde Lagrangeových multiplikátorov. Dôkladne prejdený príklad pomocou oboch metód.

Cvičenie 13 (11. 5. 2021)

Cvičenie 13. týždeň: Oprava - doplnenie správneho postupu pre dosadzovaciu metódu pri hľadaní viazaných extrémov. :) Príklad na využite metódy Jakobiánu, hľadanie viazaných extrémov funkcie 3. premenných pomocov Lagrangeových multiplikátorov (LM). Príklad na praktické využitie LM v ekonomickej praxi (prevzatý z Bc. práce o aplikácii LM v ekonómi)

Odkaz na peknú učebnicu z VSB:

Stať o Extrémoch viac. premenných všeobecne

Stať o Viazaných extrémoch

Stať o Globálnych extrémoch (rozširujúce učivo, my sme nerobili Hessiány)

Bonusové - Cvičenie 14 (14. 5. 2021)

BONUS: Spoločne sme prešli test zo skúšky z min. semestra. Nižšie nájdete jeho zadanie ako aj vzorové riešenie. Záznam z dnešku je dostupný pod odkazom Video. Úlohy 1 až 3 sú v Parte I a úlohy 4 až 6 v Parte II. Ďalšie riešené príklady na extrémy funkcii. Ďalšie riešené príklady na priebehy funkcii. Riešený príklad na šikmú asymptotu funkcie. Zbierka príkladov aj s riešeniami na LM (anglická).

Ukážka vzorového skúškového testu:

Poznámky k poslednému 4. CT: Pribudli sem riešenia! K riešeniu variantu A a B som pridal aj obrázkové vizualizácie. Môže pomôcť pri príprave na skúšku! 😊 Vačšina z nás nemala problém s prvou úlohou. Veľa ľudí v 2.) neukázalo, že nájdený viazaný extrém naozaj patrí úsečke - buď napísaním obmedzenia k rovnici priamky, ktorá prechádzala bodmi A a B alebo aspoň načrtnutím obrázka! Pozor na to! Zmätok je aj v pojmoch voľných a viazaných extrémov. Totiž, v dvojke mnohí hľadali akoby voľný extrém, t.j. stacionárny bod na celom priesotre RxR. Možno som dostatočne nepripomenul, že hľadať voľné extrémy má zmysel, iba ak máme nejakú 2-rozmernú množinu (plochu), resp. 3-rozmernú (objem). To je vtedy, ak je väzba zadaná v zadaní nie s rovnousťou (=) ale nerovnosťou. Napr. 2x**2 + y**2 <=r**2 je vnútro elipsy + elipsa (Elipsa je rozšírením pojmu kružnice, t.j. je to "hranica", 1D objekt, ale o tom inokedy). Podobne by sme mohli mať kružnicu (iba hranica) alebo zadaný nerovnosťou celý kruh. Teda, ak ide o kruh, ide o 2D objekt. Vtedy hľadáme aj voľného kandidáta na extrém a zisťujeme, či leží vo vnútri nám zadanej množiny. Inak - riešime len hranicu, t.j viazané extrémy. Nájdeme kandidátov a následne vyhodnotíme. Keďže my Vám zadávame iba kompaktné množiny, medzi kandidátmi musí vždy ležať extrém, ktorý je z povahy veci globálnym. Často je však zvykom to tam ďalej nešpecifikovať a hovoriť iba o maxime alebo o minime - v tomto boli viacerí tiež zmätení, preto to sem píšem. Inak boli výsledky viac menej ok. Skoro všetci mali nad polovicu. Ostáva teda už len jediné:

Skúškové testy z uplynulých termínov

Prajem veľa úspechov na skúškach a ak by boli otázky, nebojte sa ozvať 😊 !