( Nájdete tu kopu dalších príkladov...)
Moje vlastné cvičenia z LS 2020/21 Cvičenia Michala Zamboja Cvičenia Petra Vacka Cvičenia Evy Blažkovej Cvičenia F. Konopku (ZS 20/21) Cvičenia F. Konopku (LS 19/20)Matematika. Matematika a opäť matematika. Mojou úlohou je viesť cvičenia. To znamená, že veľmi rýchlo (ak treba) zopakujeme najzákladnejšiu teóriu z prednášok a počítame vzorové príklady tak, aby ste získali praktické skúsenosti pri riešení úloh, s ktorými sa vo svojej praxi neskôr môžete stretnúť. Zároveň Vám to pomôže na konci semestra bez problémov spraviť test a tento predmet splniť. 😊
Viď odkazy. Množstvo príkladov, starých písomiek/testov (aj s riešeniami) môžete nájsť na stránkach cvičiacich, ktorí cvičili tento predmet po minulé roky. Odporúčaná je učebnica Barbora Batíková a kol.: Učebnice matematiky pro ekonomické fakulty (2009), keďže sa na ňu dr. Krump odvoláva počas prednášok.
> Nižšie poskytujem tiež každý týždeň vlastné poznámky z cvičení z minulého semestra, ktorý prebiehal dištančnou formou. Už pri bežnom prehľade zistíte, že sú v nich chyby (niekedy aj závažné !!!). Postupom tohto semstra sa k nim chcem vracať a mne známe chyby opravovať. Tento proces môže mať však aj mesačný sklz (to jest, poznámky k Cvičeniu 1 môžu byť opravené až po 21.10. 2021 a podobne.) Žiaľ, stále sa môže stať, že niečo mi predsa len unikne. Návrhy na opravy od Vás budú preto vítané a môžu byť ohodnotené nejakým tým bonusovým bodom z cvičenia (doplnok k už známym bodom z minitestov). 😎
Účasť na cvikách je vo Vašom vlastnom najlepšom záujme, explicitne sa nikde nezapisuje. Celkovo nás čaká 12 cvičení. Začíname 21.9. a končíme 14.12. Najvyššou prioritou fakulty i celej VŠE je, aby sa zachovala prezenčná výuka v čo najväčšej miere ideálne počas celého semestra. Stretávame sa teda PREZENČNE v priestoroch budovy VŠE - Areál Jižní Město, kde moja ranná skupina (začiatok 9:15) sa stretáva v miestnosti JM313 a poobedná skupina (začiatok o 12:45) v triede JM312.
Počas semestra (12 týždňov) nás čakajú obvyklé minitestíky. Prvý čakajme v asi 3. týždeň, hneď na druhom cvičení (5.10.). Následne už budú každý týždeň. Ide o jeden príklad, kt. téma je vždy dopredu na predchádzajúcom cvičení oznámená. Typicky sa píše na začiatku cvičenia a trvá 10/15 minút (časová dotácia sa oznámi v rámci zadania). Na odovzdanie riešenia je potrebné si nosiť PAPIER, na vypracovanie PERO a PRAVÍTKO. Látka bude postupne len zložitejšia, preto radím(e) začiatok semestra nepodceniť. Ak na cvičenie neprídete vôbec, i keď nie vlastnou vinou (napr. choroba, česky "nemoc"), možnosť písať ho prepadá. Body sa tak nezískajú a sú to v skutku "premárnené príležitosti." VÝNIMOČNE, z oprávnených dôvodov je možné si ho napísať v deň cvičenia neskôr, napr. na začiatku cvičenia inej skupiny. Minitestov sa bude celkovo písať 11, každý je maximálne za 2 body. Z cvičení sa tak dá získať k celkovému hodnoteniu až 2x11 = 22 (slovom "dvadsaťdva") bodov. Viac k testom, bodom a hodnoteniu predmetu nájdete na oficiálnych stránkach predmetu.
Po vzájomnej predchádzajúcej dohode sú možné v čase od 11:00 do 12:30 alebo 14:25 až 15:50 v kabinete (miestnosť JM 180) na Jižným Měste — inokedy sá dá po dohode tiež, no výlučne ONLINE formou. Existuje možnosť ma kontaktovať pomocou mailovej adresy jaroslav.jaros[at]vse.cz ([at] nahraďte @), ako aj si zavolať pomocou Skype–u. Takisto mi môžete napísať na Facebook. Opakujem - všetko záleží od dohody. Takže - napíšte, resp. spýtajte sa počas cvičenia a nájdeme časový prienik.
Nakoniec neostáva nič viac, ako si vzájomne popriať veľa zdaru 🧐! Prosím, nebojte sa pýtať. 95% ľudí možno nechápe/nerozumie to/tomu isté/mu čo Vy, len sa boja opýtať. Berte to teda ako službu celej skupine. Radšej sa cítiť blbo 5 minút, ako zostať blbým celý život (ako hovorieval doc. Langer). Rovnako je možné, že niečo ja poviem nezrozumiteľene. V tom prípade feedback od Vás mi pomôže môj spôsob výkladu zlepšovať. 😎
Nástroje na kontrolu výpočtu a vizualizáciu:
Cvičenie 1. týždeň: Úvod. Všeobecné tipy k riešeniu matematických problémov. Funkcie ako reprezentácia zobrazenia/predpisu. Grafy funkcii. Lineárne rovnice/nerovnice. Lineárne funkcie. Kvadratické rovnice/nerovnice/funkcie. Vietove vzorce. Absolútna hodnota a jej graf. Metóda nulových bodov (NB). Riešenie pomocou tabuľky.
Cvičenie 3. týždeň: Vyjasnenie menších zmätkov (oganizačných aj matematických) z minula a dokončenie restov ohľadom kvadratických funkcii a (ne)rovníc. Lineárna nerovnica s absolútnou hodnotou. KonVexnosť a konkÁvnosť. Lineárne lomená funkcia. Pojem HYPERBOLY (1/x) a ASYMPTOTY. Kubická (ne)rovnica. Delenie mnohočlenov.
Prajme si úspešný semester a opakujem ešte raz, prosím: nebojte sa ozvať, ak čosi nepochopíte. Nech sú cvičenia z matematiky nakoniec dobrou prípravou do života, praxe ... i na "skoušku" 😊 !
Cvičenie 4. týždeň: "Bestíař" funkcií. Dôkladnejšie vysvetlenie pojmov: Definičný obor; Obor hodnôt; Monotónnosť - kde je funkcia kladná/záporná, kde klesajúca/rastúca; Parita - kde je sudá (párna)/ lichá (nepárna). Racionálne lomené funkcie a nerovnica riešená tabuľkou pomocou NB. Exponenciála a logaritmus a ich grafy. Inverzná/Prostá funkcia - poprvé. Definičný obor logaritmu.
Keďže som na tomto cvičení dosť rýchlo prebehol bestiář a trošku ho domrvil a vysvetlil nie úplne správne, prikladám interaktívny prvok, ktorý pomôže si "základné" fukcie trošku lepšie vyzualizovať. Po kliknutí sem sa to isté otvorí na novej karte a tak si viac užijete možnosť si grafy niektorých funkcií zapnuť/vypnúť, či zmeniť farby a priehľadnosť (kliknutím na ozubené koliesko). Skúste sa s tým prosím 5 min pohrať, aby ste si všimli, čo sa vlastne deje. 🧐
Cvičenie 5. týždeň: Ešte pár viet k logaritmom a exponenciále. Prostá funkcia. Doplnenie "bestiáře". Exponenciálne a logaritmické (ne)rovnice. Postupnosti (česky: posloupnosti ). Limita postupnosti. Vety o aritmetike limít (VOAL).Riešenie príkladov na limity postupností. Využitie fínt z prednášky dr. Krumpa (Finta č. 1, Finta č. 2 a Finta č. 3).
K minitestu 5 :
Cvičenie 7. týždeň: Návrat k pojmu inverznej funkcie - jej predpis a graf. Výpočet inverznej funkcie z predpisu. Zopakovanie pojmu prostej funkcie. Motivácia a úvod k deriváciám. Vzorové príklady na derivácie. (V poznámkach je inverzná funkcia v súbore Cvicenie4.pdf, t.j. v PDF verzii poznámok k min. týždňu.)
Cvičenie 8. týždeň: Predstavená bola tzv. Finta č. 4 a.k.a. návrat k pojmu limita funkcie skrze L'Hospitalovo pravidlo. Zhrnutie teórie k L'Hospitalovi z prednášky. Vzorové príklady na L'Hospitla (L'H). (O L'Hospitalovi je pekne napísané aj tu). Ďalšie príklady tu. Dotyčnica (tečna) ku grafu funkcie. (V poznámkach je L'Hospital v súbore Cvicenie6.pdf, t.j. v PDF verzii poznámok k min. týždňu.) Nedefinované výrazy a prečo si na ne dať pozor aka O Nekonečne.
Cvičenie 9. týždeň: Na cvičení ma zastupoval p. Mgr. Pavel Kůs. (Ďakujeme, Pavel!) Pred minitestom bolo ešte zhrnutie a dokončenie príkladov na určovanie dotyčnice (tečny) ku grafu funkcie. Prešla sa monotónia (monotónnosť) funkcie. Určovanie monotónnosti. Vzťah derivácie a monotónie.
Cvičenie 10. týždeň: Dokončili sme monotóniu funkcie 😊, vysvetlili vzťah medzi druhou deriváciou a extrémom, medzi druhou deriváciou a konvexitou/konkavitou a nakoniec medzi treťou a infelxným bodom. Následne sme podrobne prešli jeden priebeh funkcie (viď moje poznámky/príprava k cvičeniu). Nabudúce ešte raz poriadne nakresim graf a vrátim sa k určeniu sudosti/lichosti (párnosti/nepárnosti) funkcie, lebo to som omylom vynechal.
Keďže riešenie priebehov funkcií sa nedá naučiť inak, než počítaním, prikladám odkazy na cvičné úlohy aj so správnymi riešeniami: Sada 1 Sada 2 Sada 3 Sada 4
Ďalej prikladám aj iné riešené príklady: By dr. Krump 1 By dr. Krump 2A tiež prikladám materiály od Petra Vacka (cvičiaci z minulých rokov): Priebeh racionálne lomenej funkcie 1 Priebeh racionálne lomenej funkcie 2 Priebeh funkcie s exponenciálou Priebeh funkcie s logaritmom Zadania písomiek z minulých rokov
Cvičenie 11. týždeň: Na začiatku boli krátke komentáre k častým chabám v Miniteste 10. Potom sme prešli na SÚSTAVY ROVNÍC. Prešli sme lineárne, kvadratické sústavy rovníc. Ich grafické reprezentácie. Dosadzovaciu a sčítaciu metódu. Všeobecnú rovnicu priamky v priestore. Rovnicu kružnice (aj všeobecnú, aj špeciálne prípady). Naznačilo sa, ako by sa riešil prienik kružnice a priamky. Predstavili sme si trojrozmerný (3D) euklidovský priestor s premennými x, y a z. Začali sme úvod do funkcí viacerých premenných (konkrétne do rádu 2). Parciálne derivácie. Vysvetlili sme postup hľadania kandidátov na extrémy funkcie viacerých (dvoch) premenných, tzv. stacionárnych bodov (SB), pomocou položenia parciálnych derivácii rovných nule a rešenie vzniknutej sústavy.
Na cvičení tiež bola zadaná ďalšia dobrovoľná domáca úloha za +1 bonusový bod.
Niečo podobné bude v ďalšom miniteste. 😉 Riešenia mi posielajte (prosím) na univerzitný mail najneskôr do budúceho cvičenia (7.12.), alebo ho prineste v papierovej podobe na dané Cvičenie 11. Zadanie: Nájdite stacionárne body funkcie f(x,y) = 2x3 + 9xy + 15x2 + 27y2 . Správne riešenie DÚ na WolframeAlpha Riešenie v pdf Riešenie za 2 body - mali : zo skupiny o 9:15: Kopylova, Gembalová - 2 body (odovzdali v podstate naraz) zo skupiny o 12:45: Bokoch, Schlappl - 2 body (odovzdali v podstate naraz)Časté chyby: Komentáre boli ústnou formou na cvičení. Zhrnutie sem na stránku ešte pribudne.
Cvičenie 12. týždeň: Na cvičení sme pokračovali funkciami viacerých premenných, dokončili sme príklady na výpočet stacionárnych bodov a prešli sme spolu metódy výpočtu viazaných extrémov tzv. dosadzovacov metódou. Komentoval sa aj priebežný test a časté chyby v ňom.
Cvičenie 13. týždeň: Pokračujeme vo viazaných extrémoch funcií 2 premenných. Lagrangeove multiplikátory (LM) pre 2 premenné. Typické úlohy na skúške. Príklad na praktické využitie LM v ekonomickej praxi (prevzatý z Bc. práce o aplikácii LM v ekonómii) . Zbierka s riešenými príkladmi 1 . Zbierka s riešenými príkladmi 2 .
Stať o Extrémoch viac. premenných všeobecne
Stať o Globálnych extrémoch (rozširujúce učivo, my sme nerobili Hessiány)
Ukážka vzorového skúškového testu:
Tu nižšie nájdete niektoré testy z doterajších termínov, prípadne aj ich riešenia: