( Nájdete tu kopu dalších príkladov...)
Cvičenia Bc. Dejana Prokopa Cvičenia kolegu Bc. Vítka Berana Moje vlastné cvičenia z ZS 2021/22 Moje vlastné cvičenia z LS 2020/21 Cvičenia Michala Zamboja Cvičenia Petra Vacka Cvičenia F. Konopku (ZS 20/21) Cvičenia F. Konopku (LS 19/20)Matematika. Matematika a opäť matematika. Mojou úlohou je viesť cvičenia. To znamená, že veľmi rýchlo (ak treba) zopakujeme najzákladnejšiu teóriu z prednášok a počítame vzorové príklady tak, aby ste získali praktické skúsenosti pri riešení úloh, s ktorými sa vo svojej praxi neskôr môžete stretnúť. Zároveň Vám to pomôže na konci semestra bez problémov spraviť test a tento predmet splniť. 😊
Viď odkazy. Množstvo príkladov, starých písomiek/testov (aj s riešeniami) môžete nájsť na stránkach cvičiacich, ktorí cvičili tento predmet po minulé roky. Odporúčaná je učebnica Barbora Batíková a kol.: Učebnice matematiky pro ekonomické fakulty (2009), keďže sa na ňu dr. Krump odvoláva, počas prednášok.
Účasť na cvikách je vo Vašom vlastnom najlepšom záujme. Celkovo nás čaká 13 cvičení. Začíname 14.2. a končíme 9.5. Dňa 28.3.2023 z dôvodu INOVAČNÉHO týždňa cvičenie odpadne.
Stretávame sa v priestoroch budovy VŠE - Areál Jižní Město, kde moja 1. skupina (začiatok 12:45) sa stretáva v miestnosti JM313 a 2. skupina (začiatok o 14:30) v triede JM189.Počas semestra (13 týždňov) nás čakajú obvyklé minitestíky. Prvý čakajme hneď v 2. týždeň, hneď na druhom cvičení (21.2). Následne už budú každý týždeň. Ide o jeden príklad, kt. téma je vždy dopredu na predchádzajúcom cvičení oznámená. Rovnako býva zverejnená na stránkach dr. Krumpa. Typicky sa píše na začiatku cvičenia a trvá 10/15 minút (časová dotácia sa oznámi v rámci zadania). Na odovzdanie riešenia je potrebné si nosiť PAPIER, na vypracovanie PERO a PRAVÍTKO. Látka bude postupne len zložitejšia, preto radím(e) začiatok semestra nepodceniť. Ak na cvičenie neprídete vôbec, i keď nie vlastnou vinou (napr. choroba, česky "nemoc"), možnosť písať ho prepadá. Body sa tak nezískajú a sú to v skutku "premárnené príležitosti." VÝNIMOČNE, z oprávnených dôvodov je možné si ho napísať v deň cvičenia neskôr, napr. na začiatku cvičenia inej skupiny. Minitestov sa bude celkovo písať 12, každý je maximálne za 2 body. Z cvičení sa tak dá získať k celkovému hodnoteniu až 2x12 = 24 (slovom "dvadsaťštyri") bodov. Okrem týchto bodov je za účasť pri tabuli možné získať tzv. body za aktivitu. Viac k testom, bodom a hodnoteniu predmetu nájdete na oficiálnych stránkach predmetu.
Po vzájomnej predchádzajúcej dohode sú možné v čase po cvičení (v utorky, od 16:05) v budove VŠE - Areál Jižní Město (JM) na Chodove — inokedy sá dá, samozrejme, po dohode tiež, no skoro výlučne ONLINE formou. Existuje možnosť ma kontaktovať pomocou mailovej adresy jaroslav.jaros[at]vse.cz ([at] nahraďte @), ako aj si zavolať pomocou Skype–u/Teams-ov. Takisto mi môžete napísať na Facebook. Opakujem - všetko záleží od dohody. Takže - napíšte, resp. spýtajte sa počas cvičenia a nájdeme časový prienik.
Nakoniec neostáva nič viac, ako si vzájomne popriať veľa zdaru 🧐! Prosím, nebojte sa pýtať. 95% ľudí možno nechápe/nerozumie to/tomu isté/mu čo Vy, len sa boja opýtať. Berte to teda ako službu celej skupine. Radšej sa cítiť blbo 5 minút, ako zostať blbým celý život (ako hovorieval doc. Langer). Rovnako je možné, že niečo ja poviem nezrozumiteľene. V tom prípade feedback od Vás mi pomôže môj spôsob výkladu zlepšovať. 😎
Nižšie poskytujem tiež každý týždeň vlastné (tzv. "orientačné") poznámky z cvičení z minulých rokov, keď výuka prebiehala distančnou formou, ako aj aktuálne poznámky z cvičení kolegu Dejana Prokopa (pod "Ďalšie poznámky"), ktorý sa pri ich tvorbe mojimi inšpiroval, no povýšil ich na oveľa vyššiu úroveň. Viac menej pri tom, čo riešime na cviku vychádzam z oboch, takže, ak chcete mať prehľad, čo sme robili, prejdite si aj jedny, aj druhé, prosím. Už pri bežnom prehľade zistíte, že sú v tých mojich chyby (niekedy aj skoro závažné !!!). Časom sa k nim chcem vracať a mne známe chyby opravovať. Tento proces môže (a bude) mať však sklz. Žiaľ, stále sa môže stať, že niečo mi predsa len unikne. Návrhy na opravy od Vás budú preto vítané a môžu byť ohodnotené nejakým tým bonusovým bodom k hodnoteniu. 😎
Sledujte prosím tiež priebežne stránky predmetu, kde sú dôležité informáce k priebehu prednášky a odporúčané domáce úlohy.
Nástroje na kontrolu výpočtu a vizualizáciu:
Cvičenie 1. týždeň: Úvod. Všeobecné tipy k riešeniu matematických problémov. Funkcie ako reprezentácia zobrazenia/predpisu. Úvod to pojmu funkcie. Grafy funkcii. Ako s nimi pracovať. Lineárne rovnice/nerovnice. Lineárne funkcie. Kvadratické rovnice/nerovnice/funkcie. Vietove vzorce. Absolútna hodnota a jej graf. Metóda nulových bodov (NB). Riešenie pomocou tabuľky. Určenie toho, kde je funkcia kladná/záporná.
Cvičenie 2. týždeň: Absolútna hodnota a funkcie/(ne)rovnice s absolútnou hodnotou. Lineárna nerovnica s absolútnou hodnotou. Dokončenie restov ohľadom kvadratických funkcii a (ne)rovníc. Ich podrobnejší výklad. KonVexnosť a konkÁvnosť. Lineárne lomená funkcia. Pojem HYPERBOLY (1/x) a ASYMPTOTY. Dôkladnejšie vysvetlenie pojmov: Definičný obor; Obor hodnôt.
Cvičenie 3. týždeň: Kubická (ne)rovnica. Delenie mnohočlenov. Racionálne lomené funkcie a nerovnica riešená tabuľkou pomocou NB. Monotónnosť - kde je funkcia kladná/záporná, kde klesajúca/rastúca; Parita - kde je sudá (párna)/ lichá (nepárna). Exponenciála a logaritmus a ich grafy. Definičný obor logaritmu.
Cvičenie 4. týždeň: Dokončenie vecí k logaritmom a exponenciálam - chýbali nám neajké log. a exp. rovnice, tak sme ich na začiatku cvičenia dopočítali. Doplnenie "bestiáře". Exponenciálne a logaritmické rovnice. Postupnosti (česky: posloupnosti ). Limita postupnosti. V Vety o aritmetike limít (VOAL). Riešenie príkladov na limity postupností. Využitie fínt z prednášky dr. Krumpa (Finta č. 1, Finta č. 2 a Finta č. 3).
Cvičenie 5. týždeň: Spomienková limitka postupnosti. Pojem limity funkcie. Jednostranné limity. Limita vo vlastných a nevlastných bodoch. Pojmy vlastný a nevlastný bod a vlastná/nevlastná limita. Typické úlohy na limity funkcii. Viac o pojme limity funkcie napr. na stránke Matematiky polopatě.
Cvičenie 6. týždeň: Dokončili sme limity funkcií. Poriadne sme rozlíšili pojmy: Inverzná funkcia/ Prostá funkcia. Vzťah medzi prostou a inverznou funkciou. Úvod do derivácii.
Cvičenie 7.týždeň, tzv. inovačný týždeň, NEBOLO: Oficiálne cviko odpadlo, ale spravil som bonusové ONLINE cvičenie, na ktorom som podrobne prešiel DERIVÁCIE. Zvuk som, žiaľ, mojou chybou nahral slabo, ale ak si to dáte do slúchadiel a na max, malo by Vám to čosi dať. Prosím, pozrite sa na to.:)
Cvičenie 8. týždeň: Malý návrat k deriváciám. Zopakovanie toho, čo je derivácia. Vzorové príklady na derivácie. Využite derivácií v praxi. L'Hospitalovo pravidlo aka Finta č. 4 na počítanie limít funkcií. Teda návrat k pojmu limita funkcie skrze L'Hospitalovo pravidlo. Zhrnutie teórie k L'Hospitalovi z prednášky. Vzorové príklady na L'Hospitla (L'H). Ďalšie príklady tu.Určenie predpisu pre dotyčnicu (tečnu) ku grafu funkcie.
Cvičenie 9. týždeň: Ďalšia aplikácia 1. derivácie - určovanie monotónnosti funkcie na základe derivácie a hovorili sme o extrémoch funkcií. Vysvetlenie rozdielu medzi lokálnym (SNEŽKA) a globálnym (Mt. EVEREST) extrémom. Na cvičení sa teda prešla monotónia (monotónnosť) funkcie. Určovanie intervalov monotónnosti funkcie z jej prvej derivácie. Vzťah derivácie a monotónie (monotónnosti).
Cvičenie 10. týždeň: Pred minitestom sme na tomto cvičení ešte spočítali jeden príklad na určovanie intervalov monotónnosti z prvej derivácie funkcie a ukázali si, ako nájsť súradnice extrémov. Konečne sme si spravili jeden PRIEBEH FUNKCIE (po česky "průběh funkce"). Nájdete ho v mojich orientačných poznámkach ku cvičeniu (otvorte nižšie súbor Cvicenie9.pdf). "Kuchařka" k priebehom fukcií.
Keďže riešenie priebehov funkcií sa nedá naučiť inak, než počítaním, prikladám odkazy na cvičné úlohy aj so správnymi riešeniami: Sada 1 Sada 2 Sada 3 Sada 4
Ďalej prikladám aj iné riešené príklady: By dr. Krump 1 By dr. Krump 2A tiež prikladám materiály od Petra Vacka (cvičiaci z minulých rokov): Priebeh racionálne lomenej funkcie 1 Priebeh racionálne lomenej funkcie 2 Priebeh funkcie s exponenciálou Priebeh funkcie s logaritmom Zadania písomiek z minulých rokov
Cvičenie 11. týždeň: Posledný návrat k pojmu PARITA funkcie, a.k.a. čo znamená, že je funkcia SUDÁ/LICHÁ (PÁRNA/NEPÁRNA) z pohľadu symetrie grafu funkcie. ( Pre viac info pozri toto VIDEO, a odkaz 1, odkaz 2, odkaz 3 a odkaz 4 (na konci tabuľka, ako sa správa parita zložených funkcií)). Návrat k nedokončenému priebehu funkcie z minula: Prvá derivácia, Monotónnosť funkcie, Určovanie intervalov KONVEXITY/KONKÁVNOSTI z druhej derivácie, hľadanie inflexného bodu. Úvod k funkciám viacerých premenných a k hľadaniu stacionárnych bodov. Predstavili sme si trojrozmerný (3D) euklidovský priestor s premennými x, y a z. Začali sme úvod do funkcí viacerých premenných (konkrétne do rádu n = 2). Parciálne derivácie. Vysvetlili sme postup hľadania kandidátov na extrémy funkcie viacerých (dvoch) premenných, tzv. stacionárnych bodov (SB), pomocou položenia parciálnych derivácii rovných nule a rešenie vzniknutej sústavy.
Vzorové riešenie priebežných testov písaných v tomto semestri nájdete na týchto odkazoch:
Cvičenie 12. týždeň: Na cvičení sme pokračovali funkciami viacerých (dvoch) premenných, dokončili sme príklady na výpočet stacionárnych bodov a prešli sme spolu metódy výpočtu viazaných extrémov tzv. dosadzovacov metódou. Hľadanie viazaných extrémov na úsečkách (lineárna väzba) a mnohouholníkoch (štvorec, trojuholník). Komentoval som trochu aj priebežný test a niektoré časté chyby v ňom.
Cvičenie 13. týždeň: Dokončili sme učivo o viazaných extrémoch funcií 2 premenných. Vysvetlili sme si Lagrangeove multiplikátory (LM) pre 2 premenné. Typické úlohy na skúške. Príklad na praktické využitie LM v ekonomickej praxi. (prevzatý z Bc. práce o aplikácii LM v ekonómii) . Zbierka s riešenými príkladmi 1 . Zbierka s riešenými príkladmi 2 . Dohodli sme sa, že urbíme ešte jednu hromadnú konzultáciu cez skúškové.
Stať o Extrémoch viac. premenných všeobecne
Stať o Globálnych extrémoch (rozširujúce učivo, my sme nerobili Hessiány)
Ukážka vzorového skúškového testu:
Tu nižšie nájdete testy a ich riešenia z termínov, ktoré boli v ZS 2021/22:
Tu nižšie nájdete niektoré testy z doterajších termínov, prípadne aj ich riešenia:
AKTUÁLNE: Prosím, nezabudnite si rozkliknúť aj ďalšie roletky, aby ste si mohli pozrieť a zopakovať, čo sme robili na predošlých cvičeniach!😎