( Nájdete tu kopu dalších príkladov...)
Cvičenia Bc. Dejana Prokopa Cvičenia kolegu Bc. Vítka Berana Moje vlastné cvičenia z LS 2020/21 Moje vlastné cvičenia z ZS 2021/22 Moje vlastné cvičenia z LS 2020/21 Cvičenia Michala Zamboja Cvičenia Petra Vacka Cvičenia F. Konopku (ZS 20/21) Cvičenia F. Konopku (LS 19/20)Matematika. Matematika a opäť matematika. Mojou úlohou je viesť cvičenia. To znamená, že veľmi rýchlo (ak treba) zopakujeme najzákladnejšiu teóriu z prednášok a počítame vzorové príklady tak, aby ste získali praktické skúsenosti pri riešení úloh, s ktorými sa vo svojej praxi neskôr môžete stretnúť. Zároveň Vám to pomôže na konci semestra bez problémov spraviť test a tento predmet splniť. 😊
Viď odkazy. Množstvo príkladov, starých písomiek/testov (aj s riešeniami) môžete nájsť na stránkach cvičiacich, ktorí cvičili tento predmet po minulé roky. Odporúčaná je učebnica Barbora Batíková a kol.: Učebnice matematiky pro ekonomické fakulty (2009), keďže sa na ňu dr. Krump odvoláva, počas prednášok.
Účasť na cvikách je vo Vašom vlastnom najlepšom záujme. Celkovo nás čaká 13 cvičení. Začíname 13.2. a končíme 7.5. Dňa 09. 04. 2024 z dôvodu INOVAČNÉHO týždňa cvičenie odpadne. Počas inovačného týždňa bude zadaná miesto cvičenia bonusová úloha za 4b.
Stretávame sa v priestoroch budovy VŠE - Areál Jižní Město, kde moja 1. skupina (začiatok 09:15) sa stretáva v miestnosti JM189 a 2. skupina (začiatok o 11:00) v triede JM288.Počas semestra (13 týždňov) nás čakajú obvyklé minitestíky. Prvý čakajme hneď v 2. týždeň, hneď na druhom cvičení (20.2). Následne už budú každý týždeň. Ide o jeden príklad, kt. téma je vždy dopredu na predchádzajúcom cvičení oznámená. Rovnako býva zverejnená na stránkach dr. Krumpa. Typicky sa píše na začiatku cvičenia a trvá 10/15 minút (časová dotácia sa oznámi v rámci zadania). Na odovzdanie riešenia je potrebné si nosiť PAPIER, na vypracovanie PERO a PRAVÍTKO. Látka bude postupne len zložitejšia, preto radím(e) začiatok semestra nepodceniť. Ak na cvičenie neprídete vôbec, i keď nie vlastnou vinou (napr. choroba, česky "nemoc"), možnosť písať ho prepadá. Body sa tak nezískajú a sú to v skutku "premárnené príležitosti." VÝNIMOČNE, z oprávnených dôvodov je možné si ho napísať v deň cvičenia neskôr, napr. na začiatku cvičenia inej skupiny. Minitestov sa bude celkovo písať 12, každý je maximálne za 2 body. Z cvičení sa tak dá získať k celkovému hodnoteniu až 2x11 = 22 (slovom "dvadsaťdva") bodov. Počas inovačného týždňa bude tiež zadaná miesto cvičenia bonusová úloha za 4b. Okrem týchto bodov je za účasť pri tabuli možné získať tzv. body za aktivitu, až 4b. Štandardne - jedna účasť pri tabuli = jeden bod. Viac k testom, bodom a hodnoteniu predmetu nájdete na oficiálnych stránkach predmetu.
Po vzájomnej predchádzajúcej dohode sú možné v čase po cvičení (v utorky, od 12:30 do 13:00) v budove VŠE - Areál Jižní Město (JM) na Chodove — inokedy sá dá, samozrejme, po dohode tiež, no skoro výlučne ONLINE formou. Existuje možnosť ma kontaktovať pomocou mailovej adresy jaroslav.jaros[at]vse.cz ([at] nahraďte @), ako aj si zavolať pomocou Skype–u/Teams-ov. Takisto mi môžete napísať na Facebook. Opakujem - všetko záleží od dohody. Takže - napíšte, resp. spýtajte sa počas cvičenia a nájdeme časový prienik. Komunikujte! :)
Nakoniec neostáva nič viac, ako si vzájomne popriať veľa zdaru 🧐! Prosím, nebojte sa pýtať. 95% ľudí možno nechápe/nerozumie to/tomu isté/mu čo Vy, len sa boja opýtať. Berte to teda ako službu celej skupine. Radšej sa cítiť blbo 5 minút, ako zostať blbým celý život (ako hovorieval doc. Langer). Rovnako je možné, že niečo ja poviem nezrozumiteľene. V tom prípade feedback od Vás mi pomôže môj spôsob výkladu zlepšovať. 😎
Nižšie poskytujem tiež každý týždeň vlastné (tzv. "orientačné") poznámky z cvičení z minulých rokov, keď výuka prebiehala distančnou formou, ako aj aktuálne poznámky z cvičení kolegu Dejana Prokopa (pod "Ďalšie poznámky"), ktorý sa pri ich tvorbe mojimi inšpiroval, no povýšil ich na oveľa vyššiu úroveň. Viac menej pri tom, čo riešime na cviku vychádzam z oboch, takže, ak chcete mať prehľad, čo sme robili, prejdite si aj jedny, aj druhé, prosím. Už pri bežnom prehľade zistíte, že sú v tých mojich chyby (niekedy aj skoro závažné !!!). Časom sa k nim chcem vracať a mne známe chyby opravovať. Tento proces môže (a bude) mať však sklz. Žiaľ, stále sa môže stať, že niečo mi predsa len unikne. Návrhy na opravy od Vás budú preto vítané a môžu byť ohodnotené nejakým tým bonusovým bodom k hodnoteniu. 😎
Sledujte prosím tiež priebežne stránky predmetu, kde sú dôležité informáce k priebehu prednášky a odporúčané domáce úlohy.
Nástroje na kontrolu výpočtu a vizualizáciu:
Cvičenie 1. týždeň: Úvod. Predstavenie sa a organizačné informácie. Funkcie ako reprezentácia zobrazenia/predpisu. Úvod to pojmu funkcie. Vysvetlenie, čo je a čo nie je funkcia. Grafy funkcii a ako s nimi pracovať. Dôkladnejšie vysvetlenie pojmov: Definičný obor; Obor hodnôt. Lineárne rovnice/nerovnice. Lineárne funkcie. Kvadratické rovnice/funkcie. Určenie grafu kvadratickej funkcie. KonVexnosť a konkÁvnosť. Vietove vzorce. Prvú časť cvičenia sme šli podľa novších poznámok, ďalšiu sme šli podľa poznámok od kolegu Prokopa. (nižšie)
Cvičenie 2. týždeň: Ešte jeden príklad na určenie grafu kvadrat. funkcie. Absolútna hodnota, jej graf a funkcie/(ne)rovnice s absolútnou hodnotou. Lineárna nerovnica s absolútnou hodnotou. Dokončenie restov ohľadom kvadratických funkcii a (ne)rovníc. Ich podrobnejší výklad. Metóda nulových bodov (NB). Riešenie pomocou tabuľky. Určenie toho, kde je funkcia kladná/záporná. Lineárne lomená funkcia. Pojem HYPERBOLY (1/x) a ASYMPTOTY.
Cvičenie 3. týždeň: Kubická (ne)rovnica. Delenie mnohočlenov. Racionálne lomené funkcie a nerovnica riešená tabuľkou pomocou NB. Exponenciála a logaritmus a ich grafy. Definičný obor logaritmu. Exponenciálne a logaritmické (ne)rovnice.
Cvičenie 4. týždeň: Dokončenie vecí k logaritmom a exponenciálam - ešte raz sme sa potreli na grafy. "Bestiář" funkcií. O prostej funkcii a čo to je "inverzná funkcia." Monotónnosť - kde je funkcia kladná/záporná, kde klesajúca/rastúca; Parita - kde je sudá (párna)/ lichá (nepárna). Postupnosti (česky: posloupnosti ). Limita postupnosti. Vety o aritmetike limít (VOAL). Riešenie príkladov na limity postupností. Využitie fínt z prednášky dr. Krumpa (Finta č. 1, Finta č. 2 a Finta č. 3).
Prikladám sem interaktívny prvok , ktorý pomôže si "základné" fukcie trošku lepšie vyzualizovať. Po kliknutí sem sa to isté otvorí na novej karte a tak si viac užijete možnosť si grafy niektorých funkcií zapnuť/vypnúť, či zmeniť farby a priehľadnosť (kliknutím na ozubené koliesko). Skúste sa s tým prosím 5 min pohrať, aby ste si všimli, čo sa vlastne deje. 🧐
Cvičenie 5. týždeň: Dokončenie limít postupností (Finta č. 3 (F3), ešte nejaké "spomienkové limity" na F1 a F2). Pojem limity funkcie. Jednostranné limity. Limita vo vlastných a nevlastných bodoch. Pojmy vlastný a nevlastný bod a vlastná/nevlastná limita. Typické úlohy na limity funkcii. Viac o pojme limity funkcie napr. na stránke Matematiky polopatě.
Cvičenie 6. týždeň: Inverzná funkcia/ Prostá funkcia. Vzťah medzi prostou a inverznou funkciou. DERIVÁCIE. Úvod do derivácii.
Cvičenie 7. týždeň: Malý návrat k deriváciám. Zopakovanie toho, čo je derivácia. Vzorové príklady na derivácie. Využite derivácií v praxi. L'Hospitalovo pravidlo aka Finta č. 4 na počítanie limít funkcií. Teda návrat k pojmu limita funkcie skrze L'Hospitalovo pravidlo. Zhrnutie teórie k L'Hospitalovi z prednášky. Vzorové príklady na L'Hospitla (L'H). Ďalšie príklady tu.Určenie predpisu pre dotyčnicu (tečnu) ku grafu funkcie.
Cvičenie 8. týždeň: Ďalšia aplikácia 1. derivácie - Hľadanie STACIONÁRNYCH BODOV (SB). Určovanie monotónnosti funkcie na základe derivácie a hovorili sme o extrémoch funkcií. Vysvetlenie rozdielu medzi lokálnym (SNEŽKA) a globálnym (Mt. EVEREST) extrémom. Na cvičení sa teda prešla celá monotónia (monotónnosť) funkcie. Určovanie intervalov monotónnosti funkcie z jej prvej derivácie. Vzťah derivácie a monotónie (monotónnosti).
Cvičenie v 9. týždeň, tzv. inovačný týždeň, NEBOLO: Cvičenie odpadlo. Minulý rok som však pre svojich študentov počas inovačného týždňa nahral bonusové cvičenie na DERIVÁCIE. Prikladám ho teda aj sem. :) (Zvuk som, žiaľ, mojou chybou nahral slabo, ale ak si to dáte do slúchadiel a na max, malo by Vám to čosi dať. Prosím, pozrite sa na to tí, čo máte s deriváciami problém.:)
Cvičenie 10. týždeň: Ďalšia aplikácia derivácie - 2. derivácia a určenie intervalov, kde má funkcia konvexný a konkávny charakterUrčovanie intervalov KONVEXITY/KONKÁVNOSTI z druhej derivácie, hľadanie inflexného bodu. Úvod k funkciám viacerých premenných a k hľadaniu stacionárnych bodov.Nájdenie INFLEXNÉHO BODU. Prešli sme kompletný PRIEBEH FUNKCIE. (Konečne)! (PRIEBEH FUNKCIE = po česky "průběh funkce") Stihli sme jeden príklad veľmi detailne, ďalši sme začali. Nájdete ho v mojich orientačných poznámkach ku cvičeniu (otvorte vyššie pod INOVAČNÝM týždňom súbor Cvicenie9.pdf). Tiež sa hodí : "Kuchařka" k priebehom fukcií. Posledný návrat k pojmu PARITA funkcie, a.k.a. čo znamená, že je funkcia SUDÁ/LICHÁ (PÁRNA/NEPÁRNA) z pohľadu symetrie grafu funkcie. ( Pre viac info pozri toto VIDEO, a odkaz 1, odkaz 2, odkaz 3 a odkaz 4 (na konci tabuľka, ako sa správa parita zložených funkcií)).
Keďže riešenie priebehov funkcií sa nedá naučiť inak, než počítaním, prikladám odkazy na cvičné úlohy aj so správnymi riešeniami: Sada 1 Sada 2 Sada 3 Sada 4
Ďalej prikladám aj iné riešené príklady: By dr. Krump 1 By dr. Krump 2A tiež prikladám materiály od Petra Vacka (cvičiaci z minulých rokov): Priebeh racionálne lomenej funkcie 1 Priebeh racionálne lomenej funkcie 2 Priebeh funkcie s exponenciálou Priebeh funkcie s logaritmom Zadania písomiek z minulých rokov
V InSISe už sú vložené bodové zisky. Opravené písomky budú k dispo na najbližšom cvičení na vyžiadanie. 😎
Cvičenie 11. týždeň: Návrat k nedokončenému priebehu funkcie z minula: Nejaké komentáre k častým chybám v oblastich: Prvá derivácia, Monotónnosť funkcie (pozor, nie je to isté ako pýtať sa, kde je funkcia f(x)) kladná (+) (t.j. > 0),resp. záporná (-), (t.j. < 0)), Určovanie intervalov KONVEXITY/KONKÁVNOSTI z druhej derivácie, hľadanie inflexného bodu. Úvod k funkciám viacerých premenných a k hľadaniu stacionárnych bodov. Predstavili sme si trojrozmerný (3D) euklidovský priestor s premennými x, y a z. Začali sme úvod do funkcí viacerých premenných (konkrétne do rádu n = 2). Parciálne derivácie. Vysvetlili sme postup hľadania kandidátov na extrémy funkcie viacerých (dvoch) premenných, tzv. stacionárnych bodov (SB), pomocou položenia parciálnych derivácii rovných nule a rešenia vzniknutej sústavy.
Cvičenie 12. týždeň: Ďalej sme na cvičení sme pokračovali funkciami viacerých (dvoch) premenných. Prešli sme si poriadne ako riešiť sústavy rovníc rôznymi metódami, keď hľadáme body vo vnútri kompaktnej/definičnej množiny M, pozreli sme sa ešte na príklady na výpočet stac. bodov zložitejších funkcií a detailne sme vyriešili jeden ( v prípade skupiny o 11:00 dva ) príklady na dosadzovaciu metódu pre hľadanie viazaných extrémov na kompaktnej množine. Naučili sme sa tak hľadanie viazaných extrémov na úsečkách (lineárna väzba) a mnohouholníkoch (štvorec, trojuholník). Vrelo odporúčené počítanie doma. (Komentoval som trochu aj priebežný test a niektoré časté chyby v ňom.)
Cvičenie 13. týždeň: Dokončili sme učivo o viazaných extrémoch funcií 2 premenných. Vysvetlili sme si Lagrangeove multiplikátory (LM) pre 2 premenné. Typické úlohy na skúške. Príklad na praktické využitie LM v ekonomickej praxi. (prevzatý z Bc. práce o aplikácii LM v ekonómii) . Zbierka s riešenými príkladmi 1 . Zbierka s riešenými príkladmi 2 . Ponúkol som ešte jednu hromadnú konzultáciu cez skúškové. (Konala sa 13.5. od 9:15 do 12:45 v RB 109 na Žižkove.)
Stať o Extrémoch viac. premenných všeobecne
Stať o Globálnych extrémoch (rozširujúce učivo, my sme nerobili Hessiány)
Ukážka vzorového skúškového testu:
Tu nižšie nájdete testy a ich riešenia z termínov, ktoré boli v ZS 2021/22:
Tu nižšie nájdete niektoré testy z doterajších termínov, prípadne aj ich riešenia:
Tu nižšie nájdete niektoré testy z doterajších termínov, prípadne aj ich riešenia:
AKTUÁLNE: Prosím, nezabudnite si rozkliknúť aj ďalšie roletky, aby ste si mohli pozrieť a zopakovať, čo sme robili na cvičeniach! Všetkým prajem veľa zdaru pri písomkách a skúškach!😎